求助：标准差计算问题

happypz000

一项工程悲观估计13天完成，乐观估计9天完成，计划10天完成，其标准差为多少？
计算步骤是什么？

txish

楼主说的标准差计算问题，是PERT（计划评审技术）中的一个重要参数，我按照该理论的组成，逐项说一下，希望能对你有所帮助。

(1)活动的时间估计
a表示乐观估计时间，b表示悲观时间，m表示最可能时间。假定三个估计服从β分布(正态分布)，由此可推算出每个活动的期望 t = (a+4m+b)/6
则方差：σ²=(b-a)²/36

楼主给出的问题的期望为 t=(9+4×10+13)/6 = 10.33，方差σ²=(13-9) ²/36=0.44
(2)项目周期估算
PERT认为整个项目的完成时间是各个活动完成时间之和，且服从正态分布。整个项目完成的时间t的数学期望T为各活动的期望之和，方差σ²分别等于各活动方差之和。
标准差为：σ=√σ² （方差开平方），楼主给出问题的标准差σ= √0.44 ≈ 0.67，期望T=10.33。

根据正态分布规律，在正负σ范围内，完成的概率为68%，在正负2σ范围内完成的概率为95%，在正负3σ内完成的概率是99%。放到楼主的问题中，该工程在9.66天至11天之间完成的概率是68%，在8.99天到11.67天内完成的概率是95%，在8.32天到12.34天内完成的概率是99%。因而，如果客户要求在8天内完成，则可完成的概率几乎为0，也即该工程不可压缩周期是8天。

txish

文中所有的²都是平方的意思，应该是论坛显示的问题，在word编辑的回复，发过来后，就成这样了。

txish

我把文档截图发过来吧，看起来可能方便点。

顺便补充一下，PERT是20世纪50年代末美国海军部开发北极星潜艇系统时，为协调3000多个承包商和研究机构而开发的，其理论基础是假设项目持续时间，以及整个项目完成时间是随机的，且服从某种概率分布。PERT可以估计整个项目在某个时间内完成额概率，在项目的进度规划中应用非常广。我只是，结合楼主说的项目（非常简单的项目），复述了一遍。基本上每一本项目管理的技术书籍都会有专门的章节讲解该技术，楼主可以找本书研究一下。

回复的截图如下：

ISPMP

版主的解释非常详细，学习了

leeqng

根据正态分布规律，在正负σ范围内，完成的概率为68%(这个地方的结果是怎么得到的？不是很明白！)，在正负2σ范围内完成的概率为95%(这个地方的结果是怎么得到的？不是很明白！)，在正负3σ内完成的概率是99%(这个地方的结果是怎么得到的？不是很明白！)。放到楼主的问题中，该工程在9.66天至11天之间完成的概率是68%(这个地方的结果是怎么得到的？不是很明白！)，在8.99天到11.67天内完成的概率是95%，在8.32天到12.34天内完成的概率是99%。因而，如果客户要求在8天内完成，则可完成的概率几乎为0，也即该工程不可压缩周期是8天。

能否给详细的解释下，谢谢！

leeqng

根据正态分布规律，在正负σ范围内，完成的概率为68%(这个地方的结果是怎么得到的？不是很明白！)，在正负2σ范围内完成的概率为95%(这个地方的结果是怎么得到的？不是很明白！)，在正负3σ内完成的概率是99%(这个地方的结果是怎么得到的？不是很明白！)。放到楼主的问题中，该工程在9.66天至11天之间完成的概率是68%(这个地方的结果是怎么得到的？不是很明白！)，在8.99天到11.67天内完成的概率是95%，在8.32天到12.34天内完成的概率是99%。因而，如果客户要求在8天内完成，则可完成的概率几乎为0，也即该工程不可压缩周期是8天。

能否给详细的解释下，谢谢！

txish

leeqng问的问题涉及到对正态分布规律是什么的问题，大学数学的《数理统计》中有详细的讲解。建议您去找相关的书籍看一看。
一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。
       正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ。μ是位置参数，当σ固定不变时，μ越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴越向左移动。σ是形状参数，当μ固定不变时，σ越大，曲线越平阔；σ越小，曲线越尖峭。通常用N~（μ，σ2）表示均数为μ，方差为σ2的正态分布。用N（0，1）表示标准正态分布。
　　正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。
     

      实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。轴与正态曲线之间的面积恒等于1。正态曲线下，横轴区间（μ-σ，μ+σ）内的面积为68.27%，横轴区间（μ-1.96σ，μ+1.96σ）内的面积为95.00%，横轴区间（μ-2.58σ，μ+2.58σ）内的面积为99.00%。

txish

楼主在顶楼提出的问题，根据我在“板凳”楼的计算，μ值即数学期望T，值是10.33；σ = 0.67 ；因而才会有使leeqng产生疑问的那一段结论：

     根据正态分布规律，在正负σ范围内，完成的概率为68%，在正负2σ范围内完成的概率为95%，在正负3σ内完成的概率是99%。放到楼主的问题中，该工程在9.66天至11天之间完成的概率是68%，在8.99天到11.67天内完成的概率是95%，在8.32天到12.34天内完成的概率是99%。因而，如果客户要求在8天内完成，则可完成的概率几乎为0，也即该工程不可压缩周期是8天。

     另外，也可以从形象的角度描述一下这个问题，楼主在顶楼提到“一项工程悲观估计13天完成，乐观估计9天完成，计划10天完成 ”，也就是说最糟糕的情况是13天完成，最顺利的情况是9天完成，也就是基本上是9~13天内完成，而我们推算出的正负3σ内，是在8.32天到12.34天内完成的概率是99%，这显然是正确的；而如果客户要求在8天内完成，则可完成的概率几乎为0，从正态分布的理论角度也就是也即计算0至μ-3σ间的面积，因为（μ-3σ，μ+3σ）间面积是99%，总面积是1，所以，（0，μ-3σ）间的面积是趋于零的。另一方面因为，楼主也说了最顺利的情况是9天完成，所以8天完成当然不可能，所以，也就是0%了。

不知道我这么说leeqng能明白不？

晚秋

好人一个